Способы решения неопределенных интегралов с примерами. Определенный интеграл. Примеры решений. Примеры вычисления неопределённых интегралов
Процесс решения интегралов в науке под названием "математика" называется интегрированием. С помощью интегрирования можно находить некоторые физические величины: площадь, объем, массу тел и многое другое.
Интегралы бывают неопределенными и определенными. Рассмотрим вид определенного интеграла и попытаемся понять его физический смысл. Представляется он в таком виде: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличительная черта написание определенного интеграла от неопределенного в том, что есть пределы интегрирования a и b. Сейчас узнаем для чего они нужны, и что всё-таки значит определенный интеграл. В геометрическом смысле такой интеграл равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), линиями a и b, и осью Ох.
Из рис.1 видно, что определенный интеграл - это и есть та самая площадь, что закрашена серым цветом. Давайте, проверим это на простейшем примере. Найдем площадь фигуры на изображении представленном ниже с помощью интегрирования, а затем вычислим её обычным способом умножения длины на ширину.
Из рис.2 видно, что $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Теперь подставим их в определение интеграла, получаем, что $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text{ед}^2 $$ Сделаем проверку обычным способом. В нашем случае длина = 3, ширина фигуры = 1. $$ S = \text{длина} \cdot \text{ширина} = 3 \cdot 1 = 3 \text{ед}^2 $$ Как видим, всё отлично совпало.
Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов - это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ - первообразная $ f(x), C = const $.
Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.
Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?
Алгоритм вычисления интегралов
- Узнаем определенный интеграл или нет.
- Если неопределенный, то нужно найти первообразную функцию $ F(x) $ от подынтегральной $ f(x) $ с помощью математических преобразований приводящих к табличному виду функцию $ f(x) $.
- Если определенный, то нужно выполнить шаг 2, а затем подставить пределы $ а $ и $ b $ в первообразную функцию $ F(x) $. По какой формуле это сделать узнаете в статье "Формула Ньютона Лейбница".
Примеры решений
Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.
Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!
Решение неопределённых интегралов
Это онлайн сервис в один шаг :
Решение определённых интегралов
Это онлайн сервис в один шаг :
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Ввести нижний предел для интеграла
- Ввести верхний предел для интеграла
Решение двойных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Решение несобственных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
- Ввести нижнюю область интегрирования (или - бесконечность)
Решение тройных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
- Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
- Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования
Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность
Возможности
- Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
- Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
- Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
- Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
- Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)
Сложные интегралы
Данная статья завершает тему неопределенных интегралов, и в неё включены интегралы, которые я считаю достаточно сложными. Урок создан по неоднократным просьбам посетителей, которые высказывали пожелания, чтобы на сайте были разобраны и более трудные примеры.
Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Чайникам и людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений , где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.
Какие интегралы будут рассмотрены?
Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям . То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма . И даже больше.
Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе . Данным способом решается не так уж мало интегралов.
Третьим номером программы пойдут интегралы от сложных дробей , которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях.
В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций . В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки .
(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.
(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала .
(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как .
(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены «тэ»:
Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)
Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.
На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти неопределенный интеграл
Пример 3
Найти неопределенный интеграл
Пример 4
Найти неопределенный интеграл
Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, очевидно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде .
Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.
Методом сведения интеграла к самому себе
Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра:
Пример 5
Найти неопределенный интеграл
Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Если знаешь как.
Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой и начнем решение:
Интегрируем по частям:
(1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления.
(2) Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишу подробнее:
(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм).
Теперь смотрим на самое начало решения:
И на концовку:
Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе!
Приравниваем начало и конец:
Переносим в левую часть со сменой знака:
А двойку сносим в правую часть. В результате:
Константу , строго говоря, надо было добавить ранее, но приписал её в конце. Настоятельно рекомендую прочитать, в чём тут строгость:
Примечание:
Более строго заключительный этап решения выглядит так:
Таким образом:
Константу можно переобозначить через . Почему можно переобозначить? Потому что всё равно принимает любые
значения, и в этом смысле между константами и нет никакой разницы.
В результате:
Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях . И там я буду строг. А здесь такая вольность допускается мной только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл
Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!
Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам.
Например, рассмотрим интеграл . Всё, что нужно сделать – предварительно выделить полный квадрат
:
.
Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:
, в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда?
Или такой пример, с квадратным двучленом:
Выделяем полный квадрат:
И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму.
Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе:
– интеграл от экспоненты, умноженной на синус;
– интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.
В перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:
Пример 7
Найти неопределенный интеграл
Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус.
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:
В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:
Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:
Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.
Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:
За мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно экспоненту всегда нужно обозначать за ? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально
без разницы
, что обозначать за , можно было пойти другим путём:
Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).
То есть, за можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за , экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.
И, конечно, не забывайте, что большинство ответов данного урока достаточно легко проверить дифференцированием!
Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: . Попутаться в подобном интеграле придется многим, частенько путаюсь и я сам. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.
На завершающем этапе часто получается примерно следующее:
Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:
Интегрирование сложных дробей
Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.
Продолжаем тему корней
Пример 9
Найти неопределенный интеграл
В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.
Решаем:
Замена тут проста:
Смотрим на жизнь после замены:
(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.
(2) Выносим из-под корня.
(3) Числитель и знаменатель сокращаем на . Заодно под корнем я переставил слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.
(4) Полученный интеграл, как вы помните из урока Интегрирование некоторых дробей
, решается методом выделения полного квадрата
. Выделяем полный квадрат.
(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.
(6) Проводим обратную замену. Если изначально , то обратно: .
(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня .
Пример 10
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:
Единственное, что нужно дополнительно сделать – выразить «икс» из проводимой замены:
Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:
Пример 11
Найти неопределенный интеграл
Пример 12
Найти неопределенный интеграл
Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом , метод решения которого рассматривался на уроке Интегралы от иррациональных функций .
Интеграл от неразложимого многочлена 2-й степени в степени
(многочлен в знаменателе)
Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.
Пример 13
Найти неопределенный интеграл
Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 (честное слово, не подгадал). Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.
Решение начинается с искусственного преобразования:
Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.
Полученный интеграл берётся по частям:
Для интеграла вида ( – натуральное число) выведена рекуррентная
формула понижения степени:
, где – интеграл степенью ниже.
Убедимся в справедливости данной формулы для прорешанного интеграла .
В данном случае: , , используем формулу:
Как видите, ответы совпадают.
Пример 14
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.
Если под степенью находится неразложимый на множители
квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:
Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу , поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции , пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал (даже несложный), вероятность встречи с которым стремится к нулю.
Интегрирование сложных тригонометрических функций
Прилагательное «сложный» для большинства примеров вновь носит во многом условный характер. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс – почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже.
На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать!
Рассмотрим еще один канонический пример, интеграл от единицы, деленной на синус:
Пример 17
Найти неопределенный интеграл
Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:
(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла .
(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на .
(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.
Пара простых примеров для самостоятельного решения:
Пример 18
Найти неопределенный интеграл
Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.
Пример 19
Найти неопределенный интеграл
Ну, это совсем простой пример.
Полные решения и ответы в конце урока.
Думаю, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
и т.п.
В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью преобразований, тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса . То есть, речь идет о замене: . В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала .
Аналогичные рассуждения, как я уже оговаривался, можно провести для котангенса.
Существует и формальная предпосылка для применения вышеуказанной замены:
Сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число , например:
для интеграла – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число.
! Примечание :если подынтегральная функция содержит ТОЛЬКО синус или ТОЛЬКО косинус, то интеграл берётся и при отрицательной нечётной степени (простейшие случаи – в Примерах №№17, 18).
Рассмотрим пару более содержательных заданий на это правило:
Пример 20
Найти неопределенный интеграл
Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:
(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем .
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу .
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.
Пример 21
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения.
Держитесь, начинаются чемпионские раунды =)
Зачастую в подынтегральной функции находится «солянка»:
Пример 22
Найти неопределенный интеграл
В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше.
Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
Пример 23
Найти неопределенный интеграл
Пример 24
Найти неопределенный интеграл
Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока
Для решения упражнений по теме «Интегрирование» рекомендуется следующая литература:
1. . Математический анализ. Неопределённый интеграл. Определённый интеграл: учебное пособие . – М.: МГИУ, 2006. – 114 с.: ил. 20.
2. , и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Под ред. . (любой год издания).
Семинар №1.
Нахождение неопределённых интегралов с помощью основных правил интегрирования и таблицы неопределённых интегралов.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image002_164.gif" width="113 height=27" height="27">, то,
где С – произвольная постоянная,
2) , где k – постоянная величина,
4) .
https://pandia.ru/text/78/291/images/image008_45.gif" width="24" height="28 src="> Под знаком интеграла стоит произведение двух постоянных, которое есть, естественно, тоже постоянная. Согласно основному правилу интегрирования 2), выносим её за знак интеграла.
(2) Используем формулу 1) Таблицы интегралов.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image010_36.gif" width="569" height="44 src=">.gif" width="481" height="75 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image014_25.gif" width="255" height="32 src=">. В нашем случае , https://pandia.ru/text/78/291/images/image017_22.gif" width="75 height=47" height="47">, то .
(3) Воспользуемся основным правилом 3) интегрирования (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).
(4) Пользуемся формулой 1) Таблицы интегралов и основным правилом интегрирования 4), положив , т. е.
.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image022_9.gif" width="551" height="91 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image024_8.gif" width="449" height="101 src=">.
(1) Воспользуемся формулой сокращённого умножения
https://pandia.ru/text/78/291/images/image026_7.gif" width="103" height="37 src=">).
(2) Пользуемся свойством степеней ().
(4) В каждом из слагаемых под знаком интеграла пользуемся свойством степеней (https://pandia.ru/text/78/291/images/image029_7.gif" width="325" height="56 src=">.
(1) Поменяем два слагаемых местами в знаменателе подынтегрального выражения, чтобы получить табличный интеграл.
(2) Воспользуемся формулой 6) Таблицы интегралов..gif" width="364 height=61" height="61">.
(1) Поменяем два слагаемых местами под знаком корня в знаменателе подынтегрального выражения, чтобы получить табличный интеграл.
(2) Воспользуемся формулой 11) Таблицы интегралов.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image033_5.gif" width="625" height="75 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image035_5.gif" width="459" height="67 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image037_5.gif" width="535" height="67 src=">
(1) Подставляем .
(2) Из основного тригонометрического тождества имеем .
(3) Почленно делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.
(4) Воспользуемся основным правилом 3) интегрирования (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).
(5) Пользуемся формулой 15) Таблицы интегралов и основным правилом интегрирования 4), положив , т. е. .
Упражнения. №№ 000, 1034, 1036, 1038, 1040, 1042, 1044, 1046, 1048(а) из задачника .
Семинар №2
Интегрирование методом замены переменной
Если интеграл не является табличным, то часто используют замену переменной, а именно, полагая https://pandia.ru/text/78/291/images/image044_5.gif" width="39" height="27 src="> - непрерывно дифференцируемая функция. Подставляя в интеграл, будем иметь
Функцию https://pandia.ru/text/78/291/images/image043_5.gif" width="71" height="27"> получаем и подставляем в первообразную, зависящую от переменной t , получая в итоге первообразную зависящую от первоначальной переменной x , т. е. возвращаемся к старой переменной. Возвращаться к старой переменной следует обязательно!
В этом примере уже указана замена переменной .
https://pandia.ru/text/78/291/images/image049_5.gif" width="525" height="115 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image051_3.gif" width="408" height="83 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image053_3.gif" width="256 height=67" height="67">, так как .
При подстановке имеем .
(2) Умножаем числитель и знаменатель на .
(3) Этот интеграл «похож» на табличные 9) и 10), но заметим, что в том и другом коэффициент при квадрате неизвестного равен 1. Поэтому под корнем выносим коэффициент при за скобки.
(4) Пользуемся свойством корня квадратного из произведения двух положительных сомножителей: если и , то .
(5) Выделяем под знаком интеграла множитель.
(6) Выносим этот множитель за знак интеграла, согласно Основному правилу 2) интегрирования.
(7) Согласно формуле 10) Таблицы неопределённых интегралов получаем ответ, зависящий от переменной . Здесь , .
(8) Возвращаемся к старой переменной, проводя обратную замену, т. е..gif" width="611" height="115 src="> =
https://pandia.ru/text/78/291/images/image067_2.gif" width="47" height="21"> имеем , для нашего примера .
(2) Пользуемся основным логарифмическим тождеством: https://pandia.ru/text/78/291/images/image071_2.gif" width="111 height=32" height="32">.
(3) Приводим к общему знаменателю выражение, стоящее в знаменателе.
(4) Умножаем числитель и знаменатель подынтегрального выражения на https://pandia.ru/text/78/291/images/image072_2.gif" width="581" height="53 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image074_2.gif" width="179" height="53 src=">. Запомним это на будущее.
В этом примере также замена переменной уже указана.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image076_2.gif" width="621" height="64 src=">.
Очень часто бывает целесообразно попробовать замену , если выражение имеется под знаком интеграла или замену https://pandia.ru/text/78/291/images/image080_2.gif" width="80" height="33">где - некоторое целое положительное число Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциала .
Если подынтегральная функция зависит от выражения , то можно дать некоторые рекомендации по замене переменной.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image085.jpg" width="600" height="372 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image087_2.gif" width="557" height="68 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image089_2.gif" width="343" height="64 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image091_2.gif" width="591" height="101 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image093_2.gif" width="597" height="101 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image095_2.gif" width="113" height="27">..gif" width="108" height="27 src=">.
В самом деле,
https://pandia.ru/text/78/291/images/image099_2.gif" width="125" height="27 src=">
То есть в случае, когда подынтегральная функция имеет вид https://pandia.ru/text/78/291/images/image100_2.gif" width="48" height="27"> под знак дифференциала:
https://pandia.ru/text/78/291/images/image102_2.gif" width="292" height="29 src=">. Далее делаем замену переменной .
Такого рода преобразование иногда называют «подведение под знак дифференциала».
Прежде чем разбирать примеры на эту тему, приведём таблицу, которую можно получить из таблицы неопределённых интегралов
https://pandia.ru/text/78/291/images/image105_1.gif" width="96" height="53 src=">.gif" width="135" height="53 src=">,
https://pandia.ru/text/78/291/images/image109_1.gif" width="147" height="55 src=">,
https://pandia.ru/text/78/291/images/image111_1.gif" width="172" height="60 src=">,
https://pandia.ru/text/78/291/images/image113_1.gif" width="155" height="23 src=">,
https://pandia.ru/text/78/291/images/image115_1.gif" width="128" height="55 src=">,
https://pandia.ru/text/78/291/images/image117_1.gif" width="209" height="53 src=">,
https://pandia.ru/text/78/291/images/image119_1.gif" width="215" height="53 src="> и т. д.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image121_1.gif" width="393" height="48 src=">.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image123_1.gif" width="587" height="101 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image125_1.gif" width="155" height="27">, то целесообразна замена . Тогда имеем
https://pandia.ru/text/78/291/images/image128_1.gif" width="592" height="88 src=">=
.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image133_1.gif" width="560" height="60 src=">
.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image136_1.gif" width="560" height="59 src=">.
Упражнения №№ 000, 1088, 1151, 1081, 1082, 1094.
Семинар №4
Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле
Этот метод основан на следующей теореме.
Теорема. Пусть функции и имеют конечные производные в промежутке , и в этом промежутке существует первообразная для функции. Тогда в промежутке существует первообразная для функции и справедлива формула
Эту формулу можно записать в виде
.
Задача при интегрировании по частям заключается в том, чтобы подынтегральное выражение представить в виде произведения так, чтобы интеграл был проще, чем , т. е. нельзя выбирать и произвольно, так как можно получить более сложный интеграл https://pandia.ru/text/78/291/images/image149_1.gif" width="45 height=29" height="29">.
Практика показывает, что большая часть интегралов «берущихся» по частям может быть разбита на три группы:
https://pandia.ru/text/78/291/images/image151.jpg" width="636" height="396 src=">
Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям.
Замечание . В первой группе интегралов для интегралов вместо может быть многочлен зависящий от необязательно целой положительной степени (например https://pandia.ru/text/78/291/images/image156_0.gif" width="33" height="28 src=">.gif" width="35" height="45 src="> и т. д.).
В этом примере разбиение на множители и единственно возможное, что бывает не очень часто.
При нахождении выражения для в методе интегрирования по частям постоянную C можно положить равной нулю (см. стр.22).
https://pandia.ru/text/78/291/images/image163_0.gif" width="552" height="57 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image165_0.gif" width="623" height="176 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image167_0.gif" width="512" height="53 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image169_0.gif" width="25" height="23"> можно представить как ..gif" width="93" height="53 src=">.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image174_0.gif" width="503" height="33 src=">.
Это пример также из второй группы интегралов.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image176_0.gif" width="591" height="72 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image178_0.gif" width="197" height="28 src=">.
Таким образом, получаем уравнение относительно искомого интеграла https://pandia.ru/text/78/291/images/image180_0.gif" width="212 height=28" height="28">.
Переносим слагаемое в левую часть уравнения и получаем эквивалентное уравнение
решая которое, получаем ответ:
.
Этот пример из третьей группы интегралов. Здесь мы дважды применили интегрирование по частям.
Упражнения. №№ 000, 1214, 1226, 1221, 1217, 1218, 1225, 1223,
Семинар №5
Вычисление определённых интегралов
Вычисление определённых интегралов основано на свойствах определённого интеграла и формуле Ньютона-Лейбница.
Приведём основные свойства определённого интеграла
1) Каковы бы ни были числа a , b , c всегда имеет место равенство
https://pandia.ru/text/78/291/images/image185_0.gif" width="188" height="61 src=">.
3) Определённый интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image187_0.gif" width="47" height="27 src="> есть некоторая первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула
.
Вычисление определённого интеграла как предела интегральных сумм – достаточно трудоёмкое дело даже для элементарных функций. Формула Ньютона-Лейбница позволяет свести вычисление определённого интеграла к нахождению неопределённого интеграла, когда известна первообразная подынтегральной функции. Значение определённого интеграла равно разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределе интегрирования.
Примеры вычисления определённого интеграла в простейших случаях
https://pandia.ru/text/78/291/images/image191_0.gif" width="28" height="71 src=">.gif" width="387" height="61 src=">.gif" width="40" height="28 src=">.gif" width="41" height="21 src=">.gif" width="541" height="67 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image199.jpg" width="600" height="145 src=">
.
При использовании метода замены переменной в определённом интеграле надо иметь в виду два момента.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image202.jpg" width="648" height="60 src=">
https://pandia.ru/text/78/291/images/image204.gif" width="319" height="61 src=">.gif" width="89" height="32 src=">.gif" width="525" height="28 src=">.
Интегрирование по частям в определённом интеграле
При использовании формулы интегрирования по частям в определённом интеграле иногда оказывается, например, что , поэтому сразу же следует вычислять выражение , не откладывая это до тех пор, пока не будет найдена вся первообразная.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image213.gif" width="29" height="91 src=">.gif" width="221" height="53 src=">.gif" width="365" height="59 src=">.
Упражнения . №№ 000, 1522, 1525, 1531, 1583, 1600,1602.
Семинар № 6
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы первого рода – это интегралы с бесконечными пределами (или одним бесконечным пределом). Это интегралы вида , , . Пусть функция интегрируема на любом конечном отрезке, заключённом внутри промежутка интегрирования. Тогда, по определению
https://pandia.ru/text/78/291/images/image222.gif" width="227 height=60" height="60">.gif" width="235 height=76" height="76">.
Если приведённые пределы существуют и конечны, то говорят, что несобственные интегралы сходятся. Если не существуют или бесконечны, то говорят, что расходятся (подробнее см. стр.72-76).
https://pandia.ru/text/78/291/images/image226.gif" width="47" height="21 src="> имеем
https://pandia.ru/text/78/291/images/image228.gif" width="31" height="71 src=">.gif" width="191" height="88 src=">
Если https://pandia.ru/text/78/291/images/image232.gif" width="188" height="60 src=">.gif" width="199" height="43 src=">.
Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при.
Исследовать на сходимость несобственный интеграл
https://pandia.ru/text/78/291/images/image239.gif" width="31" height="71 src=">=
https://pandia.ru/text/78/291/images/image241.gif" width="417" height="56 src=">,
Исследовать на сходимость несобственный интеграл
.
https://pandia.ru/text/78/291/images/image244.gif" width="303" height="61">.gif" width="523" height="59 src=">,
т. е. данный несобственный интеграл сходится.
Первообразная F(x)
от функции f(x)
- это такая функция, производная которой равна f(x)
:
F′(x) = f(x), x ∈ Δ
,
где Δ
- промежуток, на котором выполняется данное уравнение.
Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом:
,
где C
- постоянная, не зависящая от переменной x
.
Основные формулы и методы интегрирования
Таблица интегралов
Конечная цель вычисления неопределенных интегралов - путем преобразований, привести заданный интеграл к выражению, содержащему простейшие или табличные интегралы.
См. Таблица интегралов >>>
Правило интегрирования суммы (разности)
Вынесение постоянной за знак интеграла
Пусть c - постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла:
Замена переменной
Пусть x
- функция от переменной t
,
x = φ(t)
,
тогда
.
Или наоборот, t = φ(x)
,
.
С помощью замены переменной можно не только вычислить простые интегралы, но и упростить вычисление более сложных.
Правило интегрирования по частям
Интегрирование дробей (рациональных функций)
Введем обозначение. Пусть P k (x), Q m (x), R n (x) обозначают многочлены степеней k, m, n , соответственно, относительно переменной x .
Рассмотрим интеграл, состоящий из дроби многочленов (так называемая рациональная функция):
Если k ≥ n
,
то сначала нужно выделить целую часть дроби:
.
Интеграл от многочлена S k-n (x)
вычисляется по таблице интегралов.
Остается интеграл:
, где m < n
.
Для его вычисления, подынтегральное выражение нужно разложить на простейшие дроби.
Для этого нужно найти корни уравнения:
Q n (x) = 0
.
Используя полученные корни, нужно представить знаменатель в виде произведения сомножителей:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ...
(x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ...
.
Здесь s
- коэффициент при x n
,
x 2 + ex + f > 0
,
x 2 + gx + k > 0
,
... .
После этого разложить дробь на простейшие:
Интегрируя, получаем выражение, состоящее из более простых интегралов.
Интегралы вида
приводятся к табличным подстановкой t = x - a
.
Рассмотрим интеграл:
Преобразуем числитель:
.
Подставляя в подынтегральное выражение, получаем выражение, в которое входят два интеграла:
,
.
Первый, подстановкой t = x 2 + ex + f
приводится к табличному.
Второй, по формуле приведения:
приводится к интегралу
Приведем его знаменатель к сумме квадратов:
.
Тогда подстановкой , интеграл
также приводится к табличному.
Интегрирование иррациональных функций
Введем обозначение. Пусть R(u 1 , u 2 , ... , u n)
означает рациональную функцию от переменных u 1 , u 2 , ... , u n
.
То есть
,
где P, Q
- многочлены от переменных u 1 , u 2 , ... , u n
.
Дробно-линейная иррациональность
Рассмотрим интегралы вида:
,
где - рациональные числа, m 1 , n 1 , ..., m s , n s
- целые числа.
Пусть n
- общий знаменатель чисел r 1 , ..., r s
.
Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:
.
Интегралы от дифференциальных биномов
Рассмотрим интеграл:
,
где m, n, p
- рациональные числа, a, b
- действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.
1)
Если p
- целое. Подстановка x = t N
,
где N
- общий знаменатель дробей m
и n
.
2)
Если - целое. Подстановка a x n + b = t M
,
где M
- знаменатель числа p
.
3)
Если - целое. Подстановка a + b x - n = t M
,
где M
- знаменатель числа p
.
Если ни одно из трех чисел не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.
В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям m
и p
.
Это можно сделать с помощью формул приведения:
;
.
Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена
Здесь мы рассматриваем интегралы вида:
,
Подстановки Эйлера
Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0
;
, при c > 0
;
, где x 1
- корень уравнения a x 2 + b x + c = 0
.
Если это уравнение имеет действительные корни.
Тригонометрические и гиперболические подстановки
Прямые методы
В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.
I тип
Интеграл вида:
,
где P n (x)
- многочлен степени n
.
Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A i
.
II тип
Интеграл вида:
,
где P m (x)
- многочлен степени m
.
Подстановкой t = (x - α) -1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.
III тип
Третий и наиболее сложный тип:
.
Здесь нужно сделать подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β
нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при t
обратились в нуль:
B = 0, B 1 = 0
.
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
;
,
которые интегрируются, соответственно подстановками:
z 2 = A 1 t 2 + C 1
;
y 2 = A 1 + C 1 t -2
.
Общий случай
Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций
Заранее отметим, что те методы, которые применимы для тригонометрических функций, также применимы и для гиперболических функций. По этой причине мы не будем рассматривать интегрирование гиперболических функций отдельно.
Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x
Рассмотрим интегралы от тригонометрических функций вида:
,
где R
- рациональная функция. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, которые следует преобразовать через синусы и косинусы.
При интегрировании таких функций полезно иметь в виду три правила:
1)
если R(cos
x, sin
x)
умножается на -1
от перемены знака перед одной из величин cos
x
или sin
x
,
то полезно другую из них обозначить через t
.
2)
если R(cos
x, sin
x)
не меняется от перемены знака одновременно перед cos
x
и sin
x
,
то полезно положить tg
x = t
или ctg
x = t
.
3)
подстановка во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы.
Произведение степенных функций от cos x и sin x
Рассмотрим интегралы вида:
Если m и n - рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.
Если m и n - целые числа, то интегралы вычисляются интегрированием по частям. При этом получаются следующие формулы приведения:
;
;
;
.
Интегрирование по частям
Применение формулы Эйлера
Если подынтегральное выражение линейно относительно одной из функций
cos
ax
или sin
ax
,
то удобно применить формулу Эйлера:
e iax = cos
ax + isin
ax
(где i 2 = -1
),
заменив эту функцию на e
iax
и выделив действительную (при замене cos
ax
) или мнимую часть (при замене sin
ax
) из полученного результата.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.