Амплитудно-частотный спектр. Спектральный анализ сигналов Фазовый спектр сигнала

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

В радиотехнике (связь, навигация, телевидение, радиолокация) при передаче информации широко используются сигналы сложной формы. Для анализа прохождения таких сигналов через цепь действуют таким способом: представляют сложный сигнал в виде суммы гармоничных колебаний и известным методом (например метод комплексных амплитуд) анализируют прохождение через цепь каждой гармоники. В соответствии с принципом суперпозиции форма исходного сигнала определяется как сумма исходных гармоник.

Представление сложного сигнала в виде гармонических колебаний поясняется тем, что гармонический сигнал является единственным сигналом, который при прохождении через цепь не изменяет своей формы. Изменяется только его амплитуда и начальная фаза, что существенно упрощает анализ прохождения сложных сигналов.

Спектром сигнала называется совокупность гармонических колебаний, из которых состоит сам сигнал.

Если говорить более строго, то существует два основных типа спектров: амплитудночастотный (амплитудный) и фазочастотный (фазовый) спектр.

Амплитудным спектром называется распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте.

Фазовым спектром называется распределение начальных фаз гармонических составляющих по частоте.

Изображение амплитудного и фазового спектра

Амплитудний спектр

Амплитудный спектр всегда положителен. Фазовый спектр может быть как положительным, так и отрицательным.

Спектр периодических сигналов

Для спектрального представления периодических колебаний используется разложение этих колебаний в тригонометрический ряд Фурье:

- период периодического сигнала.

Спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов

Согласно рисунку функция
является чётной. Тогда в тригонометрической форме записи ряда остаются только косинусоидальные члены, потому что коэффициенты равняются нулю.

Определим величину постоянной составляющей и амплитуды гармоник

- скважность. Таким образом

Амплитудный спектр

П
оскольку основная часть энергии импульса сосредоточена в области главного лепестка, то за ширину спектра принимается ширина главного лепестка

Теоретически спектр простирается до бесконечности.

Фазовый спектр

Спектр непериодического сигнала

Рассмотрим непериодический сигнал
, заданный в виде некоторой функции, отличающейся от нуля в промежутке
. Дополним сигнал до периодического как показан на рисунке.

Выделим произвольный отрезок времени T , что включает у себя промежуток , та представим заданий сигнал в виде комплексного ряда Фурье

,

где
Коэффициенты определяются выражением

Чтобы перейти к одиночному импульсу, нужно перейти к пределу при
.

Если , тогда

В итоге получим

Прямое преобразование

Еличина

называется спектральной плотностью .

Физически спектральная плотность характеризует суммарную амплитуду колебаний единичной области частот спектра сигнала, а величина
характеризует суммарную амплитуду колебаний области частот
.

Спектр непериодического сигнала является сплошным.

Зная спектральную плотность, можно найти форму сигнала

Обратное преобразование Фурье

Аким образом

Свойства спектральной плотности

Между сигналом и его спектром
существует однозначное соответствие, которое выражается рядом свойств.

1. Модуль спектральной плотности является чётной функцией частоты, а аргумент - нечётной:

2. Соотношение между спектрами периодического и непериодического сигналов.

Пусть имеем сигнал и соответствующую ему спектральную плотность
. При следовании импульсов с периодом интервал между соседними гармониками составляет . Амплитуда -ой гармоники соответственно равна

Спектральная плотность непериодического сигнала

Отсюда находим

Вывод. Модуль спектральной плотности непериодического сигнала (одиночного импульса) и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала (последовательности импульсов) совпадают по форме и отличаются только масштабом.

3. Свойство линейности. Исходя из того, что преобразование Фурье является линейным, при сложении сигналов
и которые имеют спектры
и
, суммарный сигнал
будет иметь спектр
.

4. Сдвиг сигналов по времени (теорема запаздывания). Сигнал
произвольной формы имеет спектральную плотность
.

При задержке этого сигнала на время t 0 (при сохранении его формы) получим новую функцию
. Определим спектральную плотность сигнала

Введем новую переменную
. Тогда получим

Таким образом, сдвиг по времени функции на приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину
. Модуль спектральной плотности от положения сигнала на временной оси не зависит.

5. Изменение масштаба времени (теорема масштабов) . Сигнал
длительностью  и поддается сжатию по времени. Новый сжатый сигнал

Длительность сигнала
в раз меньше чем и равняется
. Определим спектральную плотность сжатого сигнала

Введем новую переменную
тогда

.

При временном сжатии сигнала в раз во столько же раз расширяется его спектр.

6
. Сдвиг спектра сигнала (теорема смещения) . Запишем спектральную плотность для произведения сигналов
и
.
.

Таким образом

В
ывод. Умножение функции на колебание
эквивалентно разделению спектра
на две части, которые смещены соответственно на
и
.

Данная теорема позволяет по спектру видеосигнала найти спектр радиосигнала (то есть сигнала с высокочастотным заполнением).

Из рисунка следует, что при значительной частоте заполнения радиоимпульса  0 можно в области положительных частот (отрицательных не существует) пренебречь слагаемым (1/2)( + 0) и определить спектральную плотность по приближённой формуле

7. Распределение энергии в спектре непериодического колебания

Энергия импульса при его прохождении через сопротивление равняется

Равенство Парсеваля

Вывод : квадрат модуля спектральной плотности имеет смысл энергетической плотности, то есть энергии, которая приходится на единицу полосы частот [Дж/Гц].

8. Свёртка сигналов. Пусть сигналам отвечает спектральная плотность
. То есть . Тогда произведению двух спектров
будет отвечать свёртка сигналов :

Спектральные плотности типовых импульсов

1. Экспоненциальный импульс:

Импульс такой формы возникает при грозових разрядах, в системах зажигания автомобилей. Везде, где есть трущиеся контакты.

2. Ступенчатая функция (функция Хевисайда):

Спектр находим из спектра экспоненциального импульса при
:

3. Прямоугольный видеоимпульс:

Воспользуемся формулой

Большая часть энергии импульса сосредоточена в области главного лепестка (более 90%). Потому за ширину спектра принимается ширина главного лепестка в положительной области частот:

4. Спектр единичного импульса (спектр функции Дирака)

Функция Дирака

Функция Дирака представляет собой предел последовательности прямоугольных видеоимпульсов, при условии что площадь
а длительность
.

Физически функция Дирака представляет собой импульс конечной энергии с очень малой длительностью и очень большой амплитудой. С помощью данного импульса описываются кратковременные сильные влияния (удары).

Таким образом

Вывод: спектр единичного импульса является постоянным и простирается до бесконечности.

5. Спектр импульса колокольной формы:

Особенность данного импульса заключается в том, что его форма совпадает с формой спектра.

6. Спектр прямоугольного радиоимпульса:

Для определения спектра воспользуемся

теоремой смещения

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса

Следовательно

7. Спектр периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов

Для нахождения спектра воспользуемся связью между спектрами одиночного радиоимпульса и периодической последовательности

Некоторые импульсы, используемые в системах специальной связи

8. Спектр треугольного импульса

9. Спектр трапецеидального импульса

Спектральная плотность сигнала

Поскольку трапецеидальный импульс является результатом интегрирования импульса , то его спектральная плотность равна

Отсюда находим модуль спектральной плотности

При
спектральная плотность равна площади трапеции

.

Качественный вид спектральной плотности на положительных частотах:

Количество боковых лепестков определяется соотношением между и
. Чем меньше , то есть чем круче фронты типульса, тем больше количество боковых лепестков в области от 0 до . В пределе, когда крутизна фронтов стремится к бесконечности
спектр трапеции переходит в спектр прямоугольного импульса.

1
0. Спектр косинус-квадратного импульса

Для определения спектральной плотности воспользуемся преобразованием Лапласа. Для этого введём две функции:
и
.

Пусть
. Тогда в соответствии с теоремой запаздывания

Поскольку косинус-квадратный импульс равен

, то его спектральная плотность

Воспользовавшись формулой

,

Данному оригиналу соответствует изображение по Лапласу

Полагая
, находим комплексную спектральную плотность

Учитывая, что

Окончательно находим

Модуль спектральной плотности

Это следует из прямого преобразования Фурье.

Качественный вид спектральной плотности будет таким же как и у прямоугольного видеоимпульса. Только уровень боковых лепестков будет существенно ниже.

1
1. Спектр косинусоидального импульса

Определение ширины спектра и длительности импульсов

Поскольку сигнал имеет оганиченную длительность, то теоретически его спектр всегда бесконечен. Поэтому на практике ширину спектра сигнала определяют исходя из области частот, в которой сконцентрирована большая части энергии импульса (90%, 95%, 99%).

В общем случае ширина спектра и длительность импульса определяются из равенства Парсеваля

Ширина спектра
и длительность импульса (предполагается, что импульс начинается с нулевого момента времени) находятся из условий

Величина

Ширина спектра
и скорость убывания боковых лепестков
различных импульсов

Вид импульса, представляющее сумму гармонических колебаний , каждое из которых в отдельности... Жучков а. Г. Прикосновение к тайне или об основах философии единства Документ Полученный сигнал (сигнал воздействия). ... колебаний , где спектр ... которое порождает из самого себя некую активную силу или свойство «Разумного», который иногда называется ... гармонический Союз которых ... из трех совокупностей , каждая из которых состоит из ... А. В. Ладыгина Григорию Алексеевичу Николаенко посвящается Документ Лежат в самом основании, в самом логическом фундаменте всей той сложной совокупности явлений, которую мы называем словом... их как первоначальные, простейшие единицы, из которых состоит языковой сигнал . Правда, в этом случае отчетливо...

В предыдущих разделах мы рассмотрели разложение периодических сигналов в ряд Фурье, а также изучили некоторые свойства представления периодических сигналов рядом Фурье. Мы говорили, что периодические сигналы можно представить как ряд комплексных экспонент, отстоящих друг от друга на частоту рад/c, где — период повторения сигнала. В результате мы можем трактовать представление сигнала в виде ряда комплексных гармоник как комплексный спектр сигнала. Комплексный спектр, в свою очередь, может быть разделен на амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1

Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Единица измерения амплитуды сигнала зависит от физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, или, сила тока, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.

Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов представляет собой множество гармоник с огибающей вида .

Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Постоянная составляющая огибающей может быть получена как предел:

Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя :

Где называется скважностью импульсов и задает отношение периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.

Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.

Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:

Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:

Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше , тогда решением уравнения будет

Тогда огибающая обращается в ноль если

На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра .

Рисунок 2. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Также показаны амплитудная огибающая , амплитудный спектр , а также фазовая огибающая и фазовый спектр .

Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .

Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (рисунок 3б), а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).

Рисунок 3. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при различном значении скважности
а — временные осциллограммы; б — амплитудный спектр

Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .

Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4 .

Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Смещенный сигнал можно представить как сигнал , задержанный на половину длительности импульса . Спектр смещенного сигнала можно представить согласно свойству циклического временного сдвига как:

Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель . Амплитудный и фазовый спектры показаны на рисунке 5.

Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.

Выводы

В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.

Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.

Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

Огибающая АЧС последовательности прямоугольных видеоим-пульсов описывается функцией

и пересекает ось частот, когда х кратно л, т. е. п кратно q, τ. е. при частотах, кратных скважности. Поэтому именно эти частоты, равные

отсутствуют в спектре.

Обычно при построении спектров откладывают относительные

величины, т. е. и получают

относительный или нормированный спектр (рис. 15.6).

Спектральные составляющие с наибольшей амплитудой распо-ложены под первыми арками, в них сосредоточена и основная часть энергии сигнала. Поэтому эффективную ширину спектра можно определить как:

Теоретически ширина спектра бесконечна, однако не все его составляющие оказывают действенное влияние на форму сигнала и имеют практическое значение. Поэтому под шириной спектра обычно понимают ограниченный диапазон частот, внутри которого распределена большая часть энергии сигнала. Ширина спектра, так же как, например, полоса пропускания контура, — понятие условное.

Рассмотрим особенности АЧС при изменении длительности и частоты следования импульсов (рис, 15.7).

С уменьшением частоты следования Ω при t И = const происхо-дит сгущение спектра: расстояние между спектральными линиями уменьшается. Ширина спектра, определяемая его огибающей, не меняется, а основная часть энергии распределяется на большем числе гармоник.

С увеличением длительности импульсов при Ω= const ширина арок и связанная с ней ширина спектра уменьшаются: происходит относительное сжатие спектра. Основная часть энергии распреде-ляется на меньшем числе гармоник и сосредоточивается в области все более низких частот.

Таким образом, чем короче импульсы и больше их скважность, тем шире и гуще их спектр, и наоборот.

На практике часто приходится учитывать в спектре лишь ко-нечное число гармоник. Точность аппроксимации исходной функ-ции в этом случае зависит от числа учтенных гармоник. Она ока-зывается достаточной, если учитываются все гармоники, опреде-ляемые заданной шириной спектра.

Фазо-частотный спектр

Как следует из выражений (15.24) и (15.25) начальные фазы гармоник определяются как:

Отсюда следует, что огибающая ФЧС представляет собой пря-мую с углом наклона α, зависящим от сдвига импульсов. Учет из-менения от арки к арке фазы гармоник на я осуществляется соот-ветствующим смещением этой прямой параллельно себе на π вверх или вниз (рис. 15.8).

Каждая арка АЧС имеет ширину, равную qΩ. Поэтому вели-чина сдвига фазы на одну арку составляет угол:

. (15.28)

Поэтому угол наклона α огибающей ФЧС, как это следует и из рис. 15.9, равен арктангенсу от величины сдвига импульсов:

Чем больше сдвиг импульсов во времени, тем больше наклон огибающей их ФЧС (рис. 15.9). При t 0 = 0 угол α равен нулю.

Симметричные частотные спектры имеют аналогичный вид, но построение спектральных линий на них распространяется на ось отрицательных частот. При этом АЧС и ФЧС оказываются симмет-ричными относительно оси ординат и начала отсчета соответ-ственно (рис. 15.10).

Решение.

1. Расстояние между спектральными линиями, равное частоте следования импульсов:

2. Ширина арки:

3. Количество спектральных линий под каждой аркой:

4. Сдвиг фазы на одну арку:

Постоянная составляющая:

6. Т абличные значения функции соответствующие частотам F, 2F, 3F и рассчитанные с их помощью амплитуды и начальные фазы гармоник:

В спектре отсутствуют гармоники, кратные q = 5, т. е. 5F = 50 кГц, lOF = 100 кГц, 15F = 150 кГц и т. д.

СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РАДИОИМПУЛЬСОВ

Рассчитаем спектр симметричной относительно оси ординат последовательности прямоугольных радиоимпульсов (рис. 15.11):

Здесь и Ω — период и частота следования импульсов;

ω H — несущая частота.

Если несущая частота кратна частоте следования, т. е. ω H = kΩ, где k — целое число, то импульсы называются когерентными, если эти частоты некратны (), то импульсы — некогерентные.

С помощью выражения (15.4) находим постоянную состав-ляющую

В силу симметрии функции относительно оси ординат ряд Фурье будет содержать лишь косинусоиды (b n = 0 ).

Отсюда следует, что амплитуды гармонических составляющих резко возрастают в районе значений частот, близких к ω н, т. е. .По в этом районе значений п второе слагаемое в выражении (15. 32) значительно меньше первого, и им можно прене-бречь. Кроме того, так как ω H >Ω, постоянной составляющей можно также практически пренебречь.

Таким образом, при сделанных допущениях

Отсюда следует, что огибающая АЧС последовательности пря-моугольных радиоимпульсов определяется, так же как и для по-следовательности аналогичных видеоимпульсов, функцией . Разница лишь в том, что эта функция сдвинута по оси частот на величину , а ее максимум вдвое меньше и соответ-ствует частоте . (рис. 15.12).

В спектре некогерентной последовательности радиоимпульсов несущая частота сон отсутствует, и наибольшую ампли-туду имеет составляющая с частотой, близкой к . Если импульсы когерентны, то в их спектре присутствует составляющая несущей частоты, имеющая наибольшую амплитуду, равную (рис. 15.13).

Таким образом, спектр последовательности прямоугольных ра-диоимпульсов совпадает со спектром последовательности прямоугольных видеоимпульсов, смещенным вправо по оси частот на величину ω н. При этом часть спектра, лежащая в области ω<ω н, является зеркальным отображением части спектра, лежащего в области ω> ω н. Сделанные выводы тем точнее, чем ω н >Ω,

При комплексной форме ряда Фурье и построении симметричных спек-тров п принимает не только положительные, но и отрицательные значения. При отрицательных п в формуле (15.32) нельзя пренебречь вторым слагаемым, так как в районе частот , оно становится, наоборот, значительно больше первого слагаемого.

Наиболее эффективные спектральные составляющие, имеющие наибольшие амплитуды, у радиоимпульсов сосредоточены вблизи несущей частоты. Эффективная ширина спектра радиоимпульсов в два раза больше, чем у одинаковых по длительности видеоим-пульсов.

Пример 15.2.

Построить AЧC периодической последовательности прямоугольных радио-импульсов, если U m = 100 мВ; f H =250 МГц; кГц; t И = 100 мкс.

1. Скважность импульсов:

2. Ширина малых арок и половины большой арки:

3. Максимальная ордината огибающей спектра:

4. Так как f H кратно F, импульсы когерентны, основная спектральная со-ставляющая имеет частоту, равную f H = 250 МГц.

В спектре, показанном на рис. 15.13, присутствуют частоты:

отсутствуют частоты:

Амплитуды соответствующих гармоник могут быть непосредственно отсчи-таны из графика как ординаты огибающей, взятые при соответствующих ча-стотах.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ФОРМОЙ СИГНАЛА И ЕГО СПЕКТРОМ

Форма сигнала в полной мере определяется лишь совокупно-стью двух его спектров: АЧС и ФЧС. Тем не менее можно устано-вить ряд характерных связей между формой сигнала и парамет-рами его АЧС, которые позволяют на практике, имея АЧС, судить о форме сигнала, и наоборот.

Сравнивая спектры прямоугольных и треугольных импульсов, заметим, что ряд Фурье в случае треугольных импульсов сходится быстрее, чем в случае прямоугольных импульсов, так как ампли-туды гармоник убывают быстрее с ростом их номера (табл. 15.1). Закономерность, по которой уменьшаются амплитуды гармоник с ростом их номера, можно выразить через число раз дифферен-цирования исследуемой функции, необходимое для "выделения из нее дельта-функций. Пусть в k-й производной исследуемой функ-ции появляются дельта-функции. Тогда для коэффициентов Фурье имеют силу неравенства:

где М — постоянная, зависящая от формы сигнала.

Скорость убывания амплитуд гармоник в спектре зависит от структурных свойств сигнала: коэффициенты убывают тем быст-рее, чем более «гладкой» является форма сигнала и его производ-ных. Если сигнал имеет скачкообразные переходы (его функция имеет конечные разрывы) и в его первой производной появляются δ(t)-импульсы, то амплитуды гармоник в его спектре стремятся к нулю очень медленно — порядок 1/п; если"же в пределах пе-риода следования сигнал непрерывен, но в его первой производ-ной имеются конечные разрывы, а во второй — δ(t)-импульсы, то амплитуды его гармоник стремятся к нулю быстрее—порядок не ниже 1/n 2 и τ. д. .Чем быстрее убывают коэффициенты Фурье, чем более «гладкая» форма сигнала, тем меньше ширина его спектра. В пределе имеет место наиболее «гладкое» моногармоническое колебание.

Понятие длительности определено лишь для прямоугольных и сходных с ними импульсов. На практике длительность импульса произвольной формы, так же как и ширину спектра сигнала, определяют энергетическим методом, т. е. как интервал времени, внутри которого сосредоточена большая часть его энергии, на-пример 90%. Ширина спектра импульсов получается тем больше, чем меньше длительность импульсов.

Важным свойством АЧС сиг-нала является то, что произведение длительности импульса на ширину спектра есть величина постоянная для импульсов данной формы:

Это свойство присуще спектрам любых сигналов и играет су-щественную роль при выборе их параметров.

Уменьшение длительности радиолокационных импульсов, на-пример, позволяет увеличить точность определения координат цели. Однако увеличение при этом ширины спектра сигнала за-трудняет обеспечение требуемой помехозащищенности радиопри-емных устройств. Такая противоречивость следует из усло-вия (15.35). Поэтому желательно выбирать такую форму импуль-сов, чтобы произведение имело наименьшую величину. Ана-лиз показывает, что это произведение получается меньше для тех импульсов, которые изменяются во времени более плавно, форма которых более «гладкая». Наименьшая его величина, весьма близ-кая к теоретически достижимому минимуму, получается у коло-колообразных импульсов.

Каждый сигнал имеет своё представление, свой образ в частотной области.

Этот образ называется СПЕКТРОМ сигнала. Слово спектр происходит от латинского spectrum, что в буквальном переводе и означает представление, образ.

Например, гармонический сигнал вида S(t) = A sin (ωt+φ) представляется в частотной области единственным значением на оси частот.

Рис 3. Спектр синусоидального сигнала.

В математике известна теорема, носящая имя великого французского математика Жана Фурье, согласно которой любой периодический сигнал с периодом T может быть представлен рядом Фурье (гармоническим рядом).

Другими словами можно сказать, любой, самый сложный периодический сигнал можно представить совокупностью простых гармонических сигналов.

Возьмём, например, последовательность прямоугольных импульсов, длительность которых равна половине периода (такой сигнал называется МЕАНДР), а частота равна 50Гц. (рис 4.) Форма этого сигнала не очень похожа на синусоиду, коротая показана ниже вместе со своим спектром. Далее, на рис. 4в. показана основная гармоника на частоте 50 Гц, синусоида с частотой в три раза большей (150 Гц). но меньшей амплитуды и результат сложения этих двух сигналов. Видим, он по форме уже напоминает прямоугольные импульсы. Далее, на рис 4г., к первой и третьей гармоникам добавлена пятая, на частоте 250 Гц. Результат их сложения ещё более похож на исходный сигнал и так далее, чем больше гармоник мы будем суммировать, тем большую степень приближения к прямоугольным импульсам мы получим.

Рис. 4.Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов.

Аналитическая запись рассмотренного разложения имеет вид:

Чем больше сигнал отличается от гармонического, тем больше частотных составляющих в его спектральном представлении и тем меньше расстояние (разнос частот) между ними, т.е. шире спектр такого сигнала. На рис.5.показана синусоида ограниченная сверху и снизу т.е. несколько искажённая, а на рис.6 показан её спектр. Видим, спектр имеет высшие гармоники различной амплитуды.

Таким образом, любое изменение формы сигнала неизбежно ведёт к изменению его спектра, и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его спектра. Связь между временным и частотным представлением сигнала даёт теорема Фурье.

8. Преобразование Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье. Понятие амплитудного и фазового спектра сигнала.

Спектральный анализ - один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Важную роль в спектральном анализе играют методы статистики, поскольку сигналы, как правило, имеют случайный характер или зашумлены при распространении или измерении. Если бы основные статистические характеристики сигнала были точно известны, или их можно было определить по конечному интервалу этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасль "точной науки". Однако, в действительности по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра. Поэтому практика спектрального анализа - некое ремесло (или искусство?) достаточно субъективного характера. Различие между спектральными оценками, получаемыми в результате обработки одного и того же отрезка сигнала разными методами, можно объяснить различием допущений, принятых относительно данных, различными способами усреднения и т.п. Если априори характеристики сигнала не известны, нельзя сказать какие из оценок лучше.

Преобразование Фурье - математическая основа спектрального анализа.

Пара преобразований Фурье. Спектральная плотность сигнала

Пусть сигнал s (t ) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t 1 ,t 2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T , включающий в себя интервал (t 1 ,t 2) (см. рис.1).

Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде s T (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье

где

Подставим выражение для в ряд:

Для того, чтобы перейти к функции s (t ) следует в выражении s T (t ) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами  =n 2 /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю (к бесконечно малой величине: , амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становитсясплошным .

При предельном переходе в случае Т  , имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргументназывают фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S ( ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту  . Его размерность - [сигнал/частота].

9. Свойства преобразования Фурье. Свойства линейности, изменения масштаба времени, другие. Теореме о спектре производной. Теорема о спектре интеграла.

10. Дискретное преобразование Фурье. Помехи радиоприёму. Классификация помех.

Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (t k = kt, f n = nf):

S(f) =s(t) exp(-j2ft) dt, S(f n) = ts(t k) exp(-j2f n kt), (6.1.1)

s(t) =S(f) exp(j2ft) df, s(t k) = fS(f n) exp(j2nft k). (6.1.2)

Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Не следует также забывать, что значения (6.1.1) числового ряда S(f n) являются дискретизаций непрерывной функции S"(f) спектра дискретной функции s(t k), равно как и значения (6.1.2) числового ряда s(t k) являются дискретизацией непрерывной функции s"(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S"(f) и s"(t) по их дискретным отсчетам соответствие S"(f) = S(f) и s"(t) = s(t) гарантировано только при выполнении теоремы Котельникова-Шеннона.

Для дискретных преобразований s(kt)  S(nf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = Nt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f N = Nf (от -f N до f N), где N – количество отсчетов, при этом:

f = 1/T = 1/(Nt), t = 1/2f N = 1/(Nf), tf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)

Соотношения (6.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме - не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине - отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до f N , т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -f N является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.

При дискретном представлении сигналов аргумент t k обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию t = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

S(f n)  S n = s k exp(-j2kn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t k)  s k = (1/N)S n exp(j2kn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)

Главный период спектра в (6.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от - до . При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения f N) находятся на половину шага по частоте за отсчетами (N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (6.1.5) устанавливается равным N/2.

В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2f N (0  n  N), а суммирование в (6.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам S n * интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2f N соответствуют отсчеты S N+1- n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2f N являются отсчеты S n и S N+1- n).

Пример: На интервале Т= ,N=100, задан дискретный сигналs(k) =(k-i) - прямоугольный импульс с единичными значениями на точкахkот 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне, вычисленного по формулеS(n) =s(k)exp(-j2kn/100) с нумерацией поnот -50 до +50 с шагом по частоте, соответственно,=2/100, приведены на рис. 6.1.1.

Рис. 6.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.

На рис. 6.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента nс сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 6.1.3 для огибающей значений спектра.

Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s"(k) =(1/100)S(n)exp(j2kn/100), которое показывает периодизацию исходной функцииs(k), но главный периодk={0,99} этой функции полностью совпадает с исходным сигналомs(k).

Рис. 6.1.4. Обратное преобразование Фурье.

Преобразования (6.1.4-6.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 6.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N 2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.

Помехами обычно называют посторонние электрические возмущения, накладывающиеся на передаваемый сигнал и затрудняющие его прием. При большой интенсивности помех прием становится практически невозможным.

Классификация помех:

а) помехи от соседних радиопередатчиков (станций);

б) помехи от промышленных установок;

в) атмосферные помехи (грозы, осадки);

г) помехи, обусловленные прохождением электромагнитных волн через слои атмосферы: тропосферу, ионосферу;

д) тепловые и дробовые шумы в элементах радиоцепей, обусловленные тепловым движением электронов.

Математически сигнал на входе приемника можно представить либо в виде суммы передаваемого сигнала и помехи, и тогда помеху называют аддитивной , либо простошумом , либо в виде произведения передаваемого сигнала и помехи, и тогда такую помеху называютмультипликативной . Эта помеха приводит к значительным изменениям интенсивности сигнала на входе приемника и объясняет такие явления какзамирания .

Наличие помех затрудняет прием сигналов при большой интенсивности помех, распознавание сигнала может стать практически невозможным. Способность системы противостоять мешающему воздействию помехи носит название помехоустойчивости .

Внешние естественные активные помехи представляют собой шумы, возникающие в результате радиоизлучения земной поверхности и космических объектов, работы других радиоэлектронных средств. Комплекс мероприятий, направленных на уменьшение влияния взаимных помех РЭС, называется электомагнитной совместимостью. Этот комплекс включает в себя как технические меры совершенствования радиоаппаратуры, выбор формы сигнала и способа его обработки, так и организационные меры: регламентация частоты, разнесение РЭС в пространстве, нормирование уровня внеполосных и побочных излучений и др.

11. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова (отсчётов). Понятие частоты Найквиста. Понятие интервала дискретизации.

Дискретизация аналоговых сигналов. Ряд Котельникова

Всякое непрерывное сообщение s(t) , занимающее конечный интервал времени Т с , может быть передано с достаточной точностью конечным числом N отсчетов (выборок) s(nT) , т.е. последовательностью коротких импульсов, разделенных паузой.

Дискретизация сообщений по времени – процедура, состоящая в замене несчетного множества мгновенных значений сигнала их счетным (дискретным) множеством, которое содержит информацию о значениях непрерывного сигнала в определенные моменты времени.

При дискретном способе передачи непрерывного сообщения можно сократить время, в течение которого канал связи занят передачей этого сообщения, с Т с до , где- длительность импульса, применяемого для передачи выборки; можно осуществить одновременную передачу по каналу связи нескольких сообщений (временное уплотнение сигналов).

Наиболее простым является способ дискретизации, основанный на теореме В.А. Котельникова, сформулированной для сигналов с ограниченным спектром (теорема отсчетов):

если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше, чем F m , то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более, чем на секунд и может быть представлена рядом:

.

Здесь величина обозначает интервал между отсчетами на оси времени, а

Время выборки, - значение сигнала в момент отсчета.

Ряд (1) называется рядом Котельникова, а выборки (отсчеты) сигнала {s(nT) } иногда называют временным спектром сигнала.

обладает следующими свойствами:

а) в точке t=nT функция равна 1, т.к. в этой точке аргумент функции равен 0, а значение ее равно 1;

б) в точках t=kT , функция, т.к. аргумент синуса в этих точках равен, а сам синус равен нулю;

в) спектральная плотность функции u n (nT) равномерна в полосе частот и равна. Этот вывод сделан на основе теоремы взаимности частоты и времени пары преобразований Фурье. ФЧХ спектральной плотности линейна и равна(в соответствии с теоремой о сдвиге сигнала). Таким образом,

.

Временное и частотное представления функции u n (t) даны на рис.3.

Графическая интерпретация ряда Котельникова представлена на рис.4.

Ряд Котельникова (1) обладает всеми свойствами обобщенного ряда Фурье с базисными функциями u n (nT) , и поэтому определяет функцию s(t) не только в точках отсчета, но и в любой момент времени.

Интервал ортогональности функции u n равен бесконечности. Квадрат нормы

Коэффициенты ряда, определяемые по общей формуле для ряда Фурье, равны (с использованием равенства Парсеваля):

следовательно

При ограничении спектра сигнала конечной наивысшей частотой ряд (1) сходится к функции s(t) при любом значении t .

Если взять интервал Т между выборками меньшим, чем , то ширина спектра базисной функции будет больше ширины спектра сигнала, следовательно точность воспроизведения сигнала будет выше, особенно в случаях когда спектр сигнала не ограничен по частоте и наивысшую частотуF m приходится выбирать из энергетических или информационных соображений, оставляя неучтенными “хвосты” спектра сигнала.

При увеличении расстояния между выборками () спектр базисной функции становится уже спектра сигнала, коэффициентыC n будут являться выборками другой функции s 1 (t) , спектр которой ограничен частотой .

Если длительность сигнала T c конечна, то полоса его частот равна строго бесконечности, т.к. условия конечных длительности и полосы несовместимы. Однако практически всегда можно выбрать наивысшую частоту так, чтобы “хвосты” содержали либо малую долю энергии, либо слабо влияли на форму аналогового сигнала. При таком допущении число отсчетов N на времени Т с будет равно Т с /Т , т.е. N=2F m T c . Ряд (1) в этом случае имеет пределы 0, N .

Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала, или базой сигнала. С увеличением базы точность восстановления аналогового сигнала из дискретного увеличивается.

12. Временные и частотные характеристики линейных радиотехнических цепей. Понятие импульсной характеристики. Понятие переходной характеристики. Понятие входной и передаточной частотной характеристики.

При рассмотрении радиотехнических сигналов было установлено, что сигнал может быть представлен как во временной (динамическое представление), так и в частотной(спектральное представление) областях. Очевидно, при анализе процессов преобразования сигналов цепи также должны иметь соответствующие описания временными или частотными характеристиками.

Начнём с рассмотрения временных характеристик линейных цепей с постоянными параметрами. Если линейная цепь осуществляет преобразование в соответствии с оператором и на вход цепи подаётся сигналв виде дельта-функции (на практике очень короткий импульс), то выходной сигнал (реакция цепи)

называется импульсной характеристикой цепи. Импульсная характеристика составляет основу одного из методов анализа преобразования сигналов, который будет рассмотрен ниже.

Если на вход линейной цепи поступает сигнал , т.е. сигнал вида “единичный перепад”, то выходной сигнал цепи

называется переходной характеристикой .

Между импульсом и переходной характеристикой существует однозначная связь. Так как дельта-функция (см. подраздел 1.3):

,

то подставляя это выражение в (5.5), получим:

В свою очередь переходная характеристика

. (5.8)

Перейдём к рассмотрению частотных характеристик линейных цепей. Применим к входному и выходномусигналам прямое преобразование Фурье

Отношение комплексного спектра выходного сигнала к комплексному спектру входного сигнала называется комплексным коэффициентом передачи

(5.9)

Из этого следует, что

Таким образом, оператором преобразования сигнала линейной цепью в частотной области служит комплексный коэффициент передачи.

Представим комплексный коэффициент передачи в виде

где исоответственно модуль и аргумент комплексной функции. Модуль комплексного коэффициента передачикак функция частоты называетсяамплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент –фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Амплитудно-частотная характеристика является чётной , а фазочастотная характеристика – нечётной функцией частоты .

Врменные и частотные характеристики линейных цепей связаны между собой преобразованием Фурье

что вполне объяснимо, поскольку они описывают один и тот же объект – линейную цепь.

13. Анализ воздействия детерминированных сигналов на линейные цепи с постоянными параметрами. Временной, частотный, операторный методы.

Спектральное представление сигналов

Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.

Спектр сигнала - это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.

Различают два вида спектральных диаграмм: - спектральная диаграмма амплитуд; - спектральная диаграмма фаз.

В спектральной диаграмме амплитуд - отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами. В спектральной диаграмме фаз - отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами. Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих.

Не зависимо от того, какой спектр (амплитуд или фаз), он изображается в виде множества линий - составляющих. В спектре амплитуд высота спектральной линии равна амплитуде составляющей сигнала, а в спектре фаз - начальной фазе составляющей. Причем: в спектре амплитуд все составляющие имеют положительные значения, а в спектре фаз как положительные, так и отрицательные. Если амплитуда спектральной составляющей имеет отрицательный знак, то в спектре амплитуд она берется по модулю, а в спектре фаз знак составляющей изменяется на противоположный.

Классификация спектров сигналов. 1. По виду спектры бывают дискретными (линейчатыми) или сплошными . Дискретным является спектр, у которого можно выделить отдельные составляющие. Сплошным является спектр, у которого нельзя выделить отдельные составляющие, так как они расположены настолько близко, что сливаются друг с другом. 2. По диапазону частот различают спектры ограниченные и неограниченные . Ограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала (все спектральные составляющие) находятся в ограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). Неограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала находится в неограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). На практике такие спектры ограничивают.

Спектральное представление периодических сигналов

1. Гармоническое колебание. Математическая модель гармонического колебания имеет вид:

u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)

Как видно из математической модели, в спектре данного колебания присутствует одна гармоническая составляющая, которая находится на частоте?s. Высота составляющей в спектре амплитуд равна амплитуде колебания Ums, а в спектре фаз - начальной фазе колебания?s. Причем при построении спектра необходимо учитывать связь между временной диаграммой сигнала и спектром амплитуд. Амплитуда составляющей спектра должна по высоте соответствовать амплитуде колебания на временной диаграмме. Необходимо отметить, что при увеличении частоты сигнала, его составляющая будет удаляться по оси частот от нуля (рисунок 13).

Рисунок 13 - Спектральное представление гармонических колебаний

Как видно из рисунков, спектр гармонического колебания является дискретным и ограниченным. 2. Периодические, негармонические сигналы. Основной особенностью спектрального представления таких сигналов является наличие в их спектре множества спектральных составляющих. Такие сигналы могут быть описаны рядом Фурье, согласно которому:
т. е. сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и множества гармонических составляющих.

Преобразуем данный ряд, используя тригонометрическое свойство

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)

Полагая что x=?k и y=k?ct получим:

Поскольку Umk и?k являются параметрами ряда, то их можно обозначить коэффициентами

Umk sin ? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)

Тогда ряд примет вид:

Параметры ряда можно определить через коэффициенты ak и bk:

где k=1, 2, 3 …

Амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты могут быть определены через значение сигнала u(t):

Из ряда следует, что если описываемый сигнал является четной функцией f(t)=f(-t), то ряд будет иметь только косинусоидальные составляющие, так как bk=0, если нечетная функция (f(t) ? f(-t)), то рад содержит только синусоидальные составляющие (ak=0). Рассмотрим спектральное представление периодических, негармонических сигналов на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов (ПППИ). При построении спектра необходимо рассчитать следующие параметры: а) скважность сигнала:

б) значение постоянной составляющей:

в) частоту первой гармоники спектра, которая равна частоте сигнала:

г) амплитуды гармонических составляющих спектра:

При построении спектра необходимо отметить следующие особенности: 1. Все гармонические составляющие находятся на частотах, кратных частоте первой гармоники (2?1, 3?1, 4?1 и т. д.); 2. Для спектра амплитуд: а) спектр ПППИ имеет лепестковый характер, т. е. в спектре можно выделить множество «лепестков»; б) количество гармонических составляющих в лепестке зависит от скважности и равно q - 1; в) амплитуды гармонических составляющих, находящихся на частотах, кратных скважности, равны нулю; г) форма спектра обозначается огибающей - пунктирной линией, плавно соединяющей вершины гармонических составляющих; д) точка, из которой исходит огибающая, равна 2U0 или 2I0. 3. Для спектра фаз: а) все гармонические составляющие, на частотах, не кратных скважности, имеют одинаковую высоту, равную?/2 (90°); б) все гармонические составляющие в одном лепестке имеют одинаковый знак, а в соседних противоположный. в) составляющие на частотах кратных скважности имеют начальную фазу равную нулю. Спектры ПППИ при скважности q=3 представлены на рисунке 14. Как видно из диаграмм спектр ПППИ является дискретным и неограниченным. Поэтому за ширину спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится два первых лепестка, т. к. в них содержится около 95% энергии сигнала:

Fs = 2/?и. (26)

Рисунок 14 - Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз

Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода. 3. Непериодические сигналы . Поскольку в непериодических сигналах нельзя выделить период, т. к. Т??, то рассчитать и построить спектр тем же методом, что и для периодических сигналов нельзя. Однако знать спектр таких сигналов необходимо, т. к. все информационные сигналы являются непериодическими. Для построения спектра непериодического сигнала производят следующую процедуру: сигнал мысленно представляют как периодический с произвольным периодом, ддля которого строят спектр. Затем осуществляют предельный переход устремляя период к бесконечности (Т??) (рисунок 15). При этом частота первой гармоники и, соответственно, расстояние между гармоническими составляющими стремится к нулю (f1=1/Т), поэтому все составляющие сливаются друг с другом и образуют сплошной спектр.

Рисунок 15 - Импульсный сигнал u(t) и его представление периодическим сигналом

Форма спектра непериодических сигналов обозначается огибающей (сплошной линией) (рисунок 16).

Рисунок 16 - Спектральная диаграмма непериодического сигнала

Ряд Фурье, для таких сигналов, также нельзя записать, т. к. в этом случае амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты ak и bk равны нулю. В этом случае значение сигнала в любой момент времени также равно нулю, что является не верным. Поэтому для таких сигналов используют преобразования Фурье:

Выражение (27) является обратным преобразованием, а (28) прямым преобразованием Фурье. Величина S(?) является комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала u(t). Она равна:

S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)

где S(?) спектральная плотность амплитуд или амплитудный спектр непериодического сигнала, а?(?) - фазовый спектр непериодического сигнала. Спектральная плотность амплитуд непериодического сигнала на любой частоте? равна суммарной амплитуде составляющих находящихся в малой полосе?? в окрестностях частоты? пересчитанных на 1 Герц. Временные диаграммы и спектральные плотности амплитуд для прямоугольного и треугольного импульсов представлены на рисунке 18:

Рисунок 18 - Спектральное представление непериодических сигналов: а) прямоугольный импульс; б) треугольный импульс